Polinomios

Un polinomio es así:
 

Están hechos de:

	coeficientes numericos (como 3, -20, o ½)
	literales (como x e y)
	exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - ×	sumas, restas y multiplicaciones...

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

• 3x
• x - 2
• 3xyz + 3xy²z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

• 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
• 3xy^-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

• x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
• también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

Muchos términos

Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?

Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:

• Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
• Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Leyes conmutativa, asociativa y distributiva

Leyes conmutativas

Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma.

a + b  =  b + a
a × b  =  b × a

Ejemplos:

Puedes intercambiarlos cuando sumas:

3 + 6 = 6 + 3

Puedes intercambiarlos cuando multiplicas:

2 × 4 = 4 × 2

Leyes asociativas

Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.

(a + b) + c  =  a + (b + c)
(a × b) × c  =  a × (b × c)

Ejemplos:

Esto:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
da el mismo resultado que esto:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Esto:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
da el mismo resultado que esto:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Usos:

A veces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:

¿Cuánto es 19 + 36 + 4?
19 + 36 + 4  =  19 + (36 + 4)  =  19 + 40 = 59

O si los reordenamos un poco (fíjate que aquí usamos también la ley conmutativa para eso):

¿Cuánto es 2 × 16 × 5?
2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  =  10 × 16 = 160

Ley distributiva

La "ley distributiva" es la mejor de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado.

Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:

• sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
• haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados

Así:

(a + b) × c  =  a × c  +  b × c

Ejemplos:

Esto:	(2 + 4) × 5  =  6 × 5  =  30
da el mismo resultado que esto:	2×5 + 4×5  =  10 + 20  =  30

Esto:	(6 - 4) × 3  =  2 × 3  =  6
da el mismo resultado que esto:	6×3 - 4×3  =  18 - 12  =  6

Usos:

A veces es más fácil si rompemos una multiplicación difícil:

¿Cuánto es 204 × 6?
204 × 6  =  200×6 + 4×6  =  1,200 + 24  =  1,224

O para combinar:

¿Cuánto es 6 × 16 + 4 × 16?
6 × 16 + 4 × 16  =  (6+4) × 16  =  10 × 16  =  160

formulas:

Leyes conmutativas:	a + b  =  b + a a × b  =  b × a
Leyes asociativas:	(a + b) + c  =  a + (b + c) (a × b) × c  =  a × (b × c)
Ley distributiva:	(a + b) × c  =  a × c  +  b × c

Exponentes fraccionarios

También se llaman "radicales"

Exponentes

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Exponentes fraccionarios: ½

En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x^½ ?

Respuesta: x^½ = la raíz cuadrada de x   (o sea x^½ = √x)

¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x^½ tienes: (x^½)² = x¹ = x

Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos:

1	Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n (Porque primero multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces) Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6 Así que (x2)3 = x2×3 = x6
2	Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½: (x½)2 = x½×2 = x1 = x Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la raíz cuadrada de x

Probamos con otra fracción

Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

¿Qué es x^¼?

(x^¼)⁴ = x^¼×4 = x¹ = x
Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x^¼ = la raíz cuarta de x

Regla general

De hecho podemos hacer una regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Ejemplo: ¿Cuánto es 27^1/3 ?

Respuesta: 27^1/3 = 27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

• una parte con un número entero, y
• una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

Ejemplo: ¿Cuánto es 4^3/2 ?

Respuesta: 4^3/2 = 4^3×(1/2) = √(4³) = √(4×4×4) = √(64) = 8

Ahora... ¡Juega con el gráfico!

Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien. Cosas que probar:

• Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4
• Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc.
• Ahora haz que el exponente sea -1
• Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas

Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

	El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces
	Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir
	Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley	Ejemplo
x1 = x	61 = 6
x0 = 1	70 = 1
x-1 = 1/x	4-1 = 1/4
xmxn = xm+n	x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n	x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn	(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn	(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn	(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn	x-3 = 1/x3

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x¹ = x, x⁰ = 1 y x^-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0.2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0.04
	... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0)	0n = 0
Exponente negativo (n<0)	¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0	Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

	x0 = 1, así que ...	00 = 1
	0n = 0, así que ...	00 = 0
	Cuando dudes...	00 = "indeterminado"

El orden de las operaciones 

Operaciones

Las "operaciones" son por ejemplo sumar, restar, multiplicar, dividir, calcular el cuadrado, etc. Si algo no es un número entonces probablemente es una operación.

Pero, cuando ves algo como...

7 + (6 × 5² + 3)

... qué parte tendrías que calcular primero?

¿Empiezas por la izquierda y vas hacia la derecha?
¿O de derecha a izquierda?

Atención: ¡Si lo calculas en el orden equivocado, tendrás una respuesta equivocada!

Así que hace tiempo la gente se puso de acuerdo en seguir algunas reglas para hacer cálculos, y son:

El orden de las operaciones

Primero haz las cosas entre paréntesis. Ejemplo:

		6 × (5 + 3)	=	6 × 8	=	48
		6 × (5 + 3)	=	30 + 3	=	33	(mal)

Exponentes (potencias, raíces) antes que multiplicaciones, divisiones, adiciones o sustracciones. Ejemplo:

		5 × 22	=	5 × 4	=	20
		5 × 22	=	102	=	100	(mal)

Multiplicar o dividir va antes que sumar o restar. Ejemplo:

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(mal)

Aparte de eso se va de izquierda a derecha. Ejemplo:

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(mal)

¿Cómo me puedo acordar? ¡PEMDAS!

P	Paréntesis primero
E	Exponentes (potencias y raíces cuadradas, etc.)
MD	Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
AS	Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)

Nota: multiplicar y dividir están al mismo nivel. Sumar y restar están al mismo nivel.
		Después de hacer "P" y "E", sólo ve de izquierda a derecha haciendo las "M" o "D" cuando te encuentres una. Entonces ve de izquierda a derecha haciendo las "A" o "S" cuando las encuentres.

Nota: no hace falta que te aprendas PEMDAS si no quieres, lo importante es que te aprendas el orden de las operaciones correctamente.

Ejemplos

Ejemplo: ¿Cómo calculas 3 + 6 × 2 ?
Multiplicación antes que Adición:
Primero 6 × 2 = 12, después 3 + 12 = 15

Ejemplo: ¿Cómo calculas (3 + 6) × 2 ?
Paréntesis primero:
Primero (3 + 6) = 9, después 9 × 2 = 18

Ejemplo: ¿Cómo calculas 12 / 6 × 3 ?
Multiplicación y División están al mismo nivel, ve de izquierda a derecha:
Primero 12 / 6 = 2, después 2 × 3 = 6

Ah, sí, ¿y qué pasa con 7 + (6 × 5² + 3)?

7 + (6 × 52 + 3)
7 + (6 × 25 + 3)	Empieza dentro del paréntesis, y después haz los exponentes primero
7 + (150 + 3)	Después multiplica
7 + (153)	Después suma
7 + 153	Paréntesis hecho, la última operación es una suma
160	¡HECHO!

Exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Más ejemplos:

Ejemplo: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125

• En palabras: 5³ se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

• En palabras: 2⁴ se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 9⁶ es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación.

Así que, en general:

an te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's:

Exponentes negativos

¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.

Ejemplo: 8^-1 = 1 ÷ 8 = 0.125

O varias divisiones:

Ejemplo: 5^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:

5^-3 también se podría calcular así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5³ = 1/125 = 0.008

Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos: Calcula la potencia positiva (an) Después cacula el recíproco (o sea 1/an)

Más ejemplos:

Exponente negativo		Recíproco del exponente positivo		Respuesta
4-2	=	1 / 42	=	1/16 = 0.0625
10-3	=	1 / 103	=	1/1,000 = 0.001

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 9¹ = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 9⁰ = 1)

Tiene sentido

Mi método favorito es empezar con "1" y multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
52	1 × 5 × 5	25
51	1 × 5	5
50	1	1
5-1	1 ÷ 5	0.2
5-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0.04
	... etc...

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y bastante sencillo) patrón.

MEDIDAS de LONGITUD

Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal e invariable. El sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal.